Les nombres têtus

Pour vous faire comprendre ce qu'est un nombre têtu, étudions le premier de ceux-çi : 142857.
Voilà la première propriété d'un nombre têtu illustrée par un exemple :
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142

142857 est dit "têtu" car ses multiples, jusqu'a 142857 x 6, possèdent les
mêmes chiffres rangés dans le même ordre mais le chiffre initial est différent
pour chaque multiple.
Autres propriétés de 142857 :
1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9
14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
142857 x 7 = 999999
1/7 = 0,142857142857142857...

Pour généraliser les propriétées de 142857 aux nombres têtus, il faut tout d'abord comprendre les nombres "périodiques". Vous pouvez consulter mon article à ce sujet içi
Je n'ai pas les moyens techniques pour démontrer les formules qui vont suivre (je ne peut écrire içi de formules mathématiques) mais si vous souhaitez consulter mon article entier sur les nombres têtus, c'est par içi

Tout d'abord, définition d'un nombre têtu :
Un nombre têtu est le motif de l'inverse d'un nombre premier p composé
de p - 1 chiffres.
Par exemple le motif de 1/7 est 142857 composée de 7-1 chiffres donc 142857 est têtu. En revanche, le motif de 1/13 est 076923 composé de 6 chiffres (et non 12) donc 076923 n’est pas têtu.

Propriétés des nombres têtus :
Tout les multiples d'un nombre têtu X, composé de Y chiffres, de 1 x X
jusqu’a Y x X possèdent les mêmes chiffres dans le même ordre.
Cette propriété est vérifiée pour 142857, vous pouvez la tester avec le nombres têtu suivant : 0588235294117647 (le 0 à gauche est garder car il "s'exprime" dans le motif) qui est le motif de 1/17.

Si on "coupe" en deux un nombre têtu possèdant y chiffres, la somme des
deux nombres obtenus est égale à 10^(y/2) - 1 (le ^ signifie "puissance")
Exemple :
Pour 142857 on a 142 + 857 = 999 = 10^3 - 1.
Pour 0588235294117647 on a 05882352 + 94117647 = 99999999 = 10^8 - 1

Formule d'un nombre têtu :
Un nombre x est têtu si et seulement si il est le motif de l'inverse d'un nombre premier p et le motif est composé de p - 1 chiffres. Ainsi :
x/(10^(p-1)-1) = 1/p
x = (10^(p-1)-1)/p

Merci aux courageux qui ont tout lu :)