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Les nombres têtus

Les nombres têtus sont des nombres décimaux aux propriétés périodiques étonantes, pourquoi les nomment-on "têtus" ? Qu'ont-ils de si particuliers ?


Pour vous faire comprendre ce qu'est un nombre têtu, étudions le premier de ceux-çi : 142857.
Voilà la première propriété d'un nombre têtu illustrée par un exemple :
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142

142857 est dit "têtu" car ses multiples, jusqu'a 142857 x 6, possèdent les
mêmes chiffres rangés dans le même ordre mais le chiffre initial est différent
pour chaque multiple.
Autres propriétés de 142857 :
1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9
14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
142857 x 7 = 999999
1/7 = 0,142857142857142857...

Pour généraliser les propriétées de 142857 aux nombres têtus, il faut tout d'abord comprendre les nombres "périodiques". Vous pouvez consulter mon article à ce sujet içi
Je n'ai pas les moyens techniques pour démontrer les formules qui vont suivre (je ne peut écrire içi de formules mathématiques) mais si vous souhaitez consulter mon article entier sur les nombres têtus, c'est par içi

Tout d'abord, définition d'un nombre têtu :
Un nombre têtu est le motif de l'inverse d'un nombre premier p composé
de p - 1 chiffres.
Par exemple le motif de 1/7 est 142857 composée de 7-1 chiffres donc 142857 est têtu. En revanche, le motif de 1/13 est 076923 composé de 6 chiffres (et non 12) donc 076923 n’est pas têtu.

Propriétés des nombres têtus :
Tout les multiples d'un nombre têtu X, composé de Y chiffres, de 1 x X
jusqu’a Y x X possèdent les mêmes chiffres dans le même ordre.
Cette propriété est vérifiée pour 142857, vous pouvez la tester avec le nombres têtu suivant : 0588235294117647 (le 0 à gauche est garder car il "s'exprime" dans le motif) qui est le motif de 1/17.

Si on "coupe" en deux un nombre têtu possèdant y chiffres, la somme des
deux nombres obtenus est égale à 10^(y/2) - 1 (le ^ signifie "puissance")
Exemple :
Pour 142857 on a 142 + 857 = 999 = 10^3 - 1.
Pour 0588235294117647 on a 05882352 + 94117647 = 99999999 = 10^8 - 1

Formule d'un nombre têtu :
Un nombre x est têtu si et seulement si il est le motif de l'inverse d'un nombre premier p et le motif est composé de p - 1 chiffres. Ainsi :
x/(10^(p-1)-1) = 1/p
x = (10^(p-1)-1)/p

Merci aux courageux qui ont tout lu :)
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Re: Les nombres têtus
Posté par titlapin le 20/08/2004 07:54:14
D'après mes calculs 34482758620689
6551724137931 est tétu aussi, mais j'ai pas encore vérifié les propriétés ;o)
(motif de 1/29)
Si ayé je vérifie pr ce nombre * 28 ça maaaarche ça fout légèrement les boules :ol
Re: Les nombres têtus
Posté par rodolphe le 20/08/2004 07:54:14
Merci pour vos compliments ça fait plaisir :)

>Vieux loup
Je rentre a la fac et chui pas en prepa car j'ai toujours été un matheux mais dans les autres matières je suis une larve (carrément !!) donc continué a faire de l'histoire et de la philo ça me disait vraiment pas, là je rentre en premier année de DEUG MIAS (maths et info appliké aux sciences) pour me consacrer aux maths (je commence dans un mois et j'ai deja pris des boukins de maths a la BU c'est trop d'la balle tout ce qu'ils ont).

La fin de l'article ou je balance les formules et ou je parle de motif et période est dur a comprendre si on ne connait pas les nombres périodiques c'est pour ça que j'ai donné deux liens au milieu de l'article ...

>magdalena
Non j'ai pas trouvé ça tout seul, j'ai lu dans un bouquin que Euler (je crois mais j'en suis pas sûr) avait écrit dans un carnet les 6 multiplications du début de l'article (142857 x 1 = 142857 ... 142857 x 6 = 857142) sans aucune explication. A partir de là j'ai chercher pendant les cours chiant (anglais, allemand, histoire, français, ce qui m'as valu de me taper 6 et 8 en français au bac ...) et j'ai trouver des propriétés et étudier les nombres têtus en général ...
Je sais maintenant qu'il y en a une infinité mais je ne sais pas encore le prouvé, j'étudie en ce moment leur répartition dans les réelles.
Re: Les nombres têtus
Posté par farematean le 20/08/2004 07:54:14
rien a redire ... g pas trop envie de comprendre, malgres le fait que je sois en prepa ..je m'incline devant ceux qui iront en polythek ! Et en plus c bien formulé ... bonne chance pr tes longues etudes en perspective !
Re: Les nombres têtus
Posté par kowoo le 20/08/2004 07:54:14
JE VEUX UN PROF COMME CA MOA !!!
Re: Les nombres têtus
Posté par nadja terry san le 20/08/2004 07:54:14
whaaa respect :!
c marrant en + com propriétés pour une fois ke les maths sont marrants =_=
ouaiii moi aussi je pe prendre mon tpe (enfin j'en ai pas fait mais mon deossier de methodo c pareil) et pi en faire un article :p ça interesse qq1 le fonctionnement d'une station d'épuration ? >_<
. Voir tous les commentaires et/ou en poster un (9)
Publié le 04 septembre 2003
Modifié le 04 septembre 2003
Lu 2 176 fois

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